Blogthib, ou thibierge.flou

La première fois que j'entendis parler du zephirum (le zéro), c'était dans La nuit des enfants-rois, de Bernard Lenteric, où un très jeune garçon prodige étonnait un adulte en remarquant que (je cite de mémoire) "de tous les chiffres, seul le zéro gardait la même signification quelle que soit sa place dans le nombre." J'y avais souvent repensé sans, je l'avoue, arriver vraiment à comprendre.
Puis, dans un roman de Jean d'Ormesson que je lisais (Histoire du juif errant, je crois), un personnage arabe dessine dans le sable un petit cercle, en disant que ce zephir est la plus grande invention de tous les temps.
Puis, dans Le théorème du perroquet, déjà mentionné en fin de ce billet, nouvelle mention des chiffres arabes, sans insistance particulière sur le rôle - et la spécificité - du zéro. Donc, entre La nuit des enfants-rois, que j'ai dû lire vers 1985, et Le théorème du perroquet (lu pour la première fois en 2003), 18 années d'incompréhension, sauvées depuis hier par la lecture d'un ouvrage de 1202. Léonard de Pise nous le dit, et c'est pour moi la deuxième révolution des chiffres arabes :

"Ainsi, si c'est le nombre cinq cents que vous souhaitez écrire, en première et en deuxième place, vous inscrirez le zephir, en en troisième place, le chiffre cinq, de cette manière : 500 ; et ainsi vous pourrez écrire une ou plusieurs centaines avec deux zephirs."
(traduction par mes soins depuis le livre en anglais, p. 18).

Ainsi, de même que le blanc n'est pas une couleur, de même que notre écriture se compose de 26 lettres et de l'espace, de la même manière, notre "alphabet mathématique" se compose de 9 chiffres et d'un espace, communément appelé Zéro. Un 1 à la place des unités signifie "un". A la place des dizaines, il signifie "dix", "cent" a la place des centaines, et ainsi de suite. Il en va de même pour les 9 chiffres, en revanche, quelle que soit sa place, un 0 signifie toujours "il n'y a rien ici".

Le zéro, c'est le vide à côté de l'arc-en-ciel, celui qui, par sa non-existence, donne sa stature à l'existant.

Cela me fait immanquablement penser à La disparition, de Georges Perec, que je vais essayer de décrire dans le style, et selon la contrainte, de l'auteur :

un roman où, sur vingt-six signifiants, tous sont là sauf un, l'absolu. Absolu, non, mais important, car l'individu (composant pourtant moult mots) fut banni du discours. Imaginons l'abstraction du Z, ou l'abolition du K dans un roman : coton, mais pas surhumain, car la proportion du discours français où Z apparaît (ou K) vaut un minimum. Mais l'individu abstrait ici fut plus courant qu'un K, plus primordial, surtout pour un continuum bâti sans lui. L'amputation du discours signifiait l'aboli par omission, lui dont la disparition occupait un quatuor d'individus durant tout l'opus.

A plus.

Je travaille sur deux livres actuellement, il ne s'agit pas de ceux que j'écris (ma traduction, et mon Grand Projet), mais de deux livres d'histoire de la finance que j'ai achetés récemment :

• Histoire de la finance, le temps, le calcul et les promesses, par Loïc Belze et Philippe Spieser, Vuibert, 2005, 559 p.
• Fibonacci's Liber Abaci, Leonardo Pisano's Book of Calculation, traduit du latin par Laurence E. Sigler, Springer-Verlag, New York, 2002, 636 p. (Date du manuscrit original : 1202 après JC.)

Ce sont deux livres qui traitent de l'histoire de la finance, soit sous l'angle d'une impressionnante somme chronologique, analysée et commentée avec intelligence, depuis l'antiquité jusqu'à nos jours (Belze et Spieser), soit en prenant l'exemple d'un manuel de mathématiques (mais aussi de commerce) du XIIIème siècle sans aucune équation (la traduction du manuel de Fibonacci). Je me régale, car cela comble mon inculture encyclopédique. Je découvre quantité de choses, aussi je partage mon étonnement.

La découverte du jour porte plutôt sur le Fibonacci (je me réserve, pour la suite, de parler du Code d'Hammourabi dans le Belze-Spieser), précisément sur l'avènement des "chiffres arabes" en Europe. C'est Fibonacci qui a tout fait en 1202, si, si. Ces chiffres étaient anciens, puisque en fin de mon billet, je citais Brahmagupta au VIème siècle après JC. Fibonacci n'a donc pas inventé ces chiffres, mais il en a popularisé l'usage avec un manuel qui m'a l'air extrêmement clair et pédagogique.

Empruntons la De Lorean de Marty McFly et opérons un Retour vers le Futur.
Nous sommes au XIIIème siècle, et depuis la Rome antique, on compte en chiffres romains. Ce n'est pas le nirvana, pour deux raisons détaillées ci-dessous :

• C'est super fastidieux à écrire. Même s'il y a un ordre logique (les chiffres des centaines arrivent avant les chiffres des dizaines, eux-mêmes passant devant les chiffres des unités), il faut avoir une plume bien taillée pour écrire huit cent quatre-vingt sept : en chiffres romains, cela nécessite DCCCLXXXVII = 11 caractères. Vous me direz, en lettres, cela nécessitait 27 signes (espaces et tiret inclus). En chiffres arabes, 3 caractères : 887. Je ne vais pas en dériver une loi absolue, mais pour chaque chiffre arabe (unités, dizaines, centaines, milliers, etc.) il faut en moyenne 2 à 3 chiffres romains. 4212 nécessite MMMMCCXII = 9 caractères. Que dire de 763 987 238...
• Ces chiffres arabes ont permis de gagner du temps, car auparavant, il y avait deux mondes distincts : celui de l'écriture des nombres (en chiffres romains) et celui des calculs (réalisés avec un boulier). Pour faire XIX plus XLIII, il fallait "introduire" ces valeurs dans un boulier, calculer la somme, puis la retranscrire en chiffres romains (soit LXII). Fibonacci arrive, et hop, ce qu'il a appris des Arabes (qui l'ont eux-mêmes appris des Indiens), ce n'est pas seulement un système de codage plus efficace : cela vient aussi avec une boite à outils d'algorithmes, c'est-à-dire de manipulations de ces chiffres pour réaliser toutes sortes d'opérations. Exit le boulier : le chiffre est devenu matière malléable, sur laquelle on peut directement travailler. On pose une addition, on retient 2, qu'on rajoute aux dizaines, ou on calcule le reste d'une division sur un coin de table : chapeau, Fibo !

Je cherche une analogie en informatique, et la trouve approximativement: aux beaux temps de l'Intelligence artificielle et des systèmes experts (toute ma jeunesse), on opposait l'informatique procédurale (un programme est constitué d'une part d'un listing d'instructions, figées dans la pierre, qui sont censées réaliser des opérations, et d'autre part, de variables mouvantes, qui prennent différentes valeurs, dynamiquement) et les langages d'intelligence artificielle où il n'y avait plus, ni linéarité de l'algorithme (Exit le if... then... else...), ni variables en tant que telles: tout le programme devenait variable...

Je sens que vous ne suivez déjà plus, je vous parlerai donc une autre fois du Zéphir, cette absence qui a une valeur.

Depuis que j'ai découvert Léonard de Pise, je ne peux plus m'en passer.
Ce week-end, à l'heure où blanchit la campagne, je me fais démarcher par un télémarketeur en culotte courte. Résumé de l'entretien :
- Bonjour Madame, je viens vous annoncer qu'Orange vous offre 30 SMS par mois pendant 6 mois ;
- C'est Monsieur, et Docteur aussi, mon jeune ami. Que vendez-vous ?
- Je ne vends rien, Monsieur Docteur, oulala, nous sommes altruistes chez Orange, je vous Hoffre 6 mois de SMS gratuits.
- Et que se passera-t-il à l'issue des 6 mois ?
- Eh bien vous aurez la possibilité de résilier cette offre de 30 SMS par mois !
- Et si je ne résilie point, rusé rhétoricien ?
- Dans ce cas, vous serez automatiquement déboursé de la somme symbolique de 3 euros (3,63 dollars US) par mois, parce qu'Orange le vaut bien.

Je lache ex abrupto mon téléphone et convoque la puissance tutélaire de Léonard de Pise. 3 euros par mois, dans 6 mois, sur 6 mois. Puis l'année suivante, 3 euros par mois sur 12 mois, et ceci, jusqu'à l'infini, car je n'ai pas prévu de mourir pour l'instant. Actualisons tout cela à mon coût d'opportunité, que je fixe allègrement à 6% l'an, soit (taux proportionnel) 0,5% par mois.

Valeur d'un contrat où je débourse 3 euros par mois = 3 / 0,005 = 600 euros de dans 6 mois
Valeur actuelle de cette somme = 600 / (1+0,005)^6 = 582,31 euros en euros de ce samedi 28 janvier 2006.

- Allo, sémillant opérateur historique, je vous prie de m'excuser, j'étais en grande conversation avec l'ectoplasme de Léonard de Pise. Je refuse totalement votre coup de Jarnac. Vous avez été vaincu par la force de l'actualisation.

Que pouvait-il répondre ?

Repentir : prétendre que je vivrai éternellement n'est pas irréaliste ; en revanche, supposer que je me laisserais soutirer 3 euros par mois pour des SaMouSsas dont je n'ai que faire, c'est pousser le bouchon un peu loin, Maurice. Néanmoins, la grande force de ces opérateurs, et la grande faiblesse de l'être humain post-moderne, c'est le taux de rétention de l'usager, qui met des mois avant de se fendre de la lettre recommandée AR qui le délivrera de cette saignée mensuelle. Si je suppose qu'il me faudrait 6 mois (c'est bien le minimum) pour me fendre de ce courrier, le calcul devient
Valeur d'un contrat où je débourse 3 euros par mois pendant 6 mois = 17,69 euros
Valeur actuelle de cette somme = 17,69 / (1+0,005)^6 = 17,17 euros aujourd'hui. Allez, ça vaut bien un repas.

Je suis professeur de finance. Cela signifie que depuis des années, j'enseigne l'actualisation et la valeur temps de l'argent, avec notamment la sage sentence : « un euro aujourd'hui vaut plus qu'un euro demain ».
Dans ma grande ignorance, pendant des années, j'ai attribué le concept d'actualisation à Irving Fisher, économiste américain, médiatiquement fameux pour avoir déclaré, quelques jours avant le Krach de 1929 : « les cours des actions ont désormais atteint ce qui semble être un plateau élevé permanent ». (Mais par ailleurs, Irving Fisher a apporté des contributions non négligeables à la finance moderne, et lui reprocher cette phrase conduirait à se pencher sur tout ce qu'ont pu dire les banques d'affaires et les banquiers dans les années 1998-2001... ;-) ).
Il m'a fallu l'aide de Wikipedia version anglaise pour me rendre compte que le propagateur (sinon l'inventeur) de la notion d'actualisation a été Léonard de Pise, vers 1202, date de la publication de son ouvrage Liber abaci (le livre des calculs), dont je viens d'acheter une traduction en anglais (mon latin est un peu rouillé, et le livre est introuvable en tant qu'original).
Léonard de Pise, mathématicien génial, a transposé en Europe ce qu'il avait appris auprès des barbaresques, dans ce qui allait devenir l'Algérie. Son traité porte sur les calculs à partir des chiffres dits « arabes » (en réalité, les chiffres indiens), qui allaient détrôner les chiffres romains dans l'arithmétique occidentale. Et Léonard de Pise consacre une partie de son ouvrage aux calculs sur les intérêts et les marges commerciales. Je n'en sais pas plus pour l'instant, j'attends qu'Amazon me livre, vers la mi-février. En revanche, pour l'avoir vu sur différents sites et document PDF consacrés à notre ami, les raisonnements du mathématicien étaient entièrement littéraires, sans une équation, semble-t-il, comme ici (traduction approximative faite par votre serviteur, en aller-retour entre le texte latin original et la version anglaise) :

Un individu possède un couple de lapin rassemblés en un endroit circonscrit, pour savoir combien de lapins leur seront nés en une année : étant donné que par nature, ils engendrent chaque mois une paire de lapins, et que ce nouveau couple en engendrera de même le deuxième mois. Aussi, comme la première paire engendre au premier mois, vous doublez le nombre, il y aura deux paires au bout d'un mois. De ceux-ci, une paire – la première en fait – engendrera au deuxième mois, et ainsi, il sont trois paires au deuxième mois. De ceux-ci, en un mois, deux paires sont gravides, et font naître 2 paires au troisième mois, et ainsi il y a 5 paires en ce mois. De ceux-ci, 3 paires sont gravides, alors il sont 8 paires au quatrième mois. Parmi ceux-ci, 5 paires engendrent 5 autres paires, lesquelles additionnées aux 8 paires font 13 paires au cinquième mois. [...] à ceux-ci sont additionnés les 144 paires qui naquirent au dernier mois, il y aura 377 paires. Et toutes ces paires sont engendrées par la paire susmentionnée dans le lieu dit à la fin d'une année. Vous pouvez voir dans cette marge comment il fut procédé. En effet, car nous avons additionné le premier chiffre au deuxième, c'est-à-dire 1 avec 2. Et le second avec le troisième. Et le troisième avec le quatrième. Et le quatrième avec le cinquième, et ainsi de suite, jusqu'à additionner le dixième et le onzième, soit 144 avec 233. Et nous avons la somme de lapins susmentionnée, soit 377 paires. Et ainsi vous pouvez procéder par ordre pour un nombre de mois infinis.

En conclusion

• J'achète ce livre pour m'inspirer de ses exemples littéraires, dans un effort de clarté pédagogique.
• Personne ne sait bien qui a « inventé » l'actualisation : Léonard de Pise a popularisé – et approfondi – des concepts et calculs arabes (al-Khwarizmi a écrit un traité d'algèbre en 830) eux-mêmes fondés, semble-t-il, sur des travaux mathématiques indiens (Brahmagupta, au VIème siècle, réalisait des calculs sur les intérêts, et cite comme référence un auteur indien encore plus ancien). L'algèbre, et la résolution des équations du premier degré, peuvent nous emmener fort loin. Reste à savoir quand, pour la première fois, ces outils mathématiques ont été appliqués aux concepts financiers de prêt et placement.
• Enfin, en note de bas de page, Léonardo de Pise était aussi appelé Fibonacci, et son exemple des lapins donne la fameuse suite de Fibonacci. Certains traders utilisent les nombres de Fibonacci pour vendre du papier aux gogos prédire les cours boursiers puisque, on le sait, les marchés ne sont pas efficients ;-)

Pour le lecteur peu matheux, mais intéressé, je recommande le roman de Denis Guedj, Le théorème du perroquet, qui balaie l'histoire des mathématiques sous la forme ludique d'une intrigue intellectualo-policière. Ce livre m'a été offert en son temps par mon collègue Philippe Spieser, qui vient de publier une Histoire de la finance fort prometteuse. J'en attends aussi la livraison par Amazon, c'est dire si le temps gouverne nos vies.